В работе дается полное решение алгебраической версии гипотезы Бирхгофа для бильярдов с кусочно С²-гладкой границей на поверхностях постоянной кривизны: Евклидовой плоскости, сфере и плоскости Лобачевского. Рассматриваются полиномиально интегрируемые бильярды, для которых соответствующий бильярдный геодезический поток имеет нетривиальный первый интеграл, полиномиально зависящий от скорости. Требуется, чтобы интеграл был непостоянным на гиперповерхности единичного уровня тривиального интеграла: квадрата модуля скорости. В 1992 г. С.В.Болотин доказал, что всякий бильярд, ограниченный дугами софокусных коник и отрезками так называемых допустимых геодезических, полиномиально интегрируем. В настоящей статье доказано обратное: всякий полиномиально интегрируемый бильярд имеет вышеупомянутый тип. В частности, отсюда следует, что всякий полиномиально интегрируемый выпуклый ограниченный плоский бильярд есть эллипс. Основной результат статьи (теорема о классификации полиномиально интегрируемых бильярдов) является совместным результатом М.Бялого, А.Е.Миронова и автора. Его доказательство использует результаты Болотина и состоит из двух частей: 1) две совместные статьи Бялого и Миронова, сводящие теорему с помощью геометрического построения к алгебро-геометрической задаче, частично исследованной ими; 2) полное решение вышеупомянутой алгебро-геометрической задачи, представленное в настоящей статье.