All
 
|
 
 


On the Parameters of the Singular Part of the Horn–Sergeichuk Regularizing Decomposition
 
PIIS086956520000721-6-1
DOI10.31857/S086956520000721-6
Publication type Article
Status Published
Authors
Khakim Ikramov 
Affiliation: Lomonosov Moscow State University
Journal nameDoklady Akademii nauk
EditionVolume 481 Issue 1
Pages7-9
Abstract

  

Keywords
Received09.09.2018
Publication date13.09.2018
Number of characters5249
Cite  
100 rub.
When subscribing to an article or issue, the user can download PDF, evaluate the publication or contact the author. Need to register.
Размещенный ниже текст является ознакомительной версией и может не соответствовать печатной
1

1. Пусть A — комплексная -матрица. Для таких матриц мы различаем два типа конгруэнтных преобразований: T-конгруэнции, т.е. преобразования вида

 (1)

и *-конгруэнции

 (2)
2 В обеих формулах S — произвольная невырожденная матрица.
3

И в том, и в другом случае матрицу S можно выбрать так, чтобы A приобрела вид

 (3)
4 Здесь — жордановы клетки порядков соответственно с нулем на главной диагонали, а B — невырожденная матрица, определяемая с точностью до конгруэнции. Представление (3) названо в [1] регуляризующим разложением матрицы A, прямая сумма — сингулярной частью этого разложения, а о матрице B говорят, что она определяет его регулярную часть. Два последних термина также заимствованы из статьи [1].
5 Там же, в [1], описаны несколько алгоритмов для вычисления разложения (3). Авторы называют их алгоритмами регуляризации, видимо, по той причине, что после выделения клеток остается невырожденная, т.е. регулярная матрица B.
6 Один из алгоритмов регуляризации, описанных в [1], использует только унитарные (а в вещественном случае — только ортогональные) преобразования, что рассматривается авторами как важное достоинство, хотя можно усомниться в полезности унитарности при решении некорректной задачи, родственной задаче построения жордановой нормальной формы.
7 Излишне сложен и другой алгоритм регуляризации из [1], основанный на элементарных преобразованиях строк и столбцов матрицы A. Гораздо более простой алгоритм, также использующий только элементарные преобразования, предложен в [2].
8 Число жордановых клеток p в разложении (3) и их порядки будем называть параметрами этого разложения. Общий недостаток имеющихся алгоритмов регуляризации состоит в том, что параметры регуляризующего разложения определяются лишь в ходе их работы. Эти параметры нельзя найти a priori, до выполнения алгоритмов.
9 Такая ситуация контрастирует с той, что имеет место в теории подобия. Как известно, нильпотентную часть жордановой формы -матрицы A можно определить, не производя самого приведения к этой форме. Напомним, как это делается.
10

Положим

и
11

Последовательность — это так называемая характеристика Вейра (Weir) нулевого собственного значения матрицы A. Она полностью определяет ту часть жордановой формы, которая относится к этому значению, а именно, количество жордановых клеток порядка k с нулем на главной диагонали дается формулой

(см. [3, Lemma 3.1.18] или [4, задачи 6.4.80, 6.4.81]).
12

Если матрица A претерпевает подобие

то

и

 (4)

для всех неотрицательных целых k. Таким образом, числа Вейра суть инварианты подобия и нильпотентную часть жордановой формы можно найти, пользуясь представлением матрицы A в любом базисе.
13

Не так обстоит дело для конгруэнтных преобразований. Будем для определенности говорить о T-конгруэнциях. Из

отнюдь не следует, что, например, матрица B конгруэнтна матрице A. Пусть

Number of purchasers: 1, views: 1483

Readers community rating: votes 0 

1. Horn R.A., Sergeichuk V.V. // Linear Algebra Appl. 2006. V. 412. P. 380 – 395.
2. Ikramov Kh.D. // Sib. zhurn. vychisl. matem. 2018. T. 21. № 2. S.
3. Horn R.A., Johnson C.R. Matrix Analysis. Second edition. Cambridge University Press, 2012.
4. Ikramov Kh.D. Zadachnik po linejnoj algebre. SPb.: Izdatel'stvo “Lan'”, 2006.

Система Orphus

Loading...
Up