О параметрах сингулярной части регуляризующего разложения Сергейчука-Хорна

Указан простой способ априорного нахождения числа и порядка жордановых клеток, входящих в регуляризующее разложение квадратной матрицы. Это разложение, предложенное Сергейчуком и Хорном, достигается конгруэнтными преобразованиями и позволяет разделить регулярную и сингулярную части матрицы.

Ключевые слова

Получено

09.09.2018

Дата публикации

13.09.2018

Кол-во символов

5249

Цитировать

ГОСТ	Икрамов Х. Д. О параметрах сингулярной части регуляризующего разложения Сергейчука-Хорна // Доклады Академии наук – 2018. – Tом 481. – Номер 1 C. 7-9 [Электронный ресурс]. URL: http://ras.jes.su/dan/s207987840000163-8-1 (дата обращения: 05.05.2024). DOI: 10.31857/S086956520000721-6
MLA	Ikramov, Khakim "On the Parameters of the Singular Part of the Horn–Sergeichuk Regularizing Decomposition." Doklady Akademii nauk 481.1 (2018):7-9. DOI: 10.31857/S086956520000721-6
APA	Ikramov K. (2018). On the Parameters of the Singular Part of the Horn–Sergeichuk Regularizing Decomposition. Doklady Akademii nauk 481(1), pp.7-9 DOI: 10.31857/S086956520000721-6

100 руб.

При оформлении подписки на статью или выпуск пользователь получает возможность скачать PDF, оценить публикацию и связаться с автором. Для оформления подписки требуется авторизация.

Оператором распространения коммерческих препринтов является ООО «Интеграция: ОН»

Размещенный ниже текст является ознакомительной версией и может не соответствовать печатной.


1	1. Пусть A — комплексная -матрица. Для таких матриц мы различаем два типа конгруэнтных преобразований: T-конгруэнции, т.е. преобразования вида (1) и *-конгруэнции (2)
2	В обеих формулах S — произвольная невырожденная матрица.
3	И в том, и в другом случае матрицу S можно выбрать так, чтобы A приобрела вид (3)
4	Здесь — жордановы клетки порядков соответственно с нулем на главной диагонали, а B — невырожденная матрица, определяемая с точностью до конгруэнции. Представление (3) названо в [1] регуляризующим разложением матрицы A, прямая сумма — сингулярной частью этого разложения, а о матрице B говорят, что она определяет его регулярную часть. Два последних термина также заимствованы из статьи [1].
5	Там же, в [1], описаны несколько алгоритмов для вычисления разложения (3). Авторы называют их алгоритмами регуляризации, видимо, по той причине, что после выделения клеток остается невырожденная, т.е. регулярная матрица B.
6	Один из алгоритмов регуляризации, описанных в [1], использует только унитарные (а в вещественном случае — только ортогональные) преобразования, что рассматривается авторами как важное достоинство, хотя можно усомниться в полезности унитарности при решении некорректной задачи, родственной задаче построения жордановой нормальной формы.
7	Излишне сложен и другой алгоритм регуляризации из [1], основанный на элементарных преобразованиях строк и столбцов матрицы A. Гораздо более простой алгоритм, также использующий только элементарные преобразования, предложен в [2].
8	Число жордановых клеток p в разложении (3) и их порядки будем называть параметрами этого разложения. Общий недостаток имеющихся алгоритмов регуляризации состоит в том, что параметры регуляризующего разложения определяются лишь в ходе их работы. Эти параметры нельзя найти a priori, до выполнения алгоритмов.
9	Такая ситуация контрастирует с той, что имеет место в теории подобия. Как известно, нильпотентную часть жордановой формы -матрицы A можно определить, не производя самого приведения к этой форме. Напомним, как это делается.
10	Положим и
11	Последовательность — это так называемая характеристика Вейра (Weir) нулевого собственного значения матрицы A. Она полностью определяет ту часть жордановой формы, которая относится к этому значению, а именно, количество жордановых клеток порядка k с нулем на главной диагонали дается формулой (см. [3, Lemma 3.1.18] или [4, задачи 6.4.80, 6.4.81]).
12	Если матрица A претерпевает подобие то и (4) для всех неотрицательных целых k. Таким образом, числа Вейра суть инварианты подобия и нильпотентную часть жордановой формы можно найти, пользуясь представлением матрицы A в любом базисе.
13	Не так обстоит дело для конгруэнтных преобразований. Будем для определенности говорить о T-конгруэнциях. Из отнюдь не следует, что, например, матрица B конгруэнтна матрице A. Пусть