Нелинейная модель деформирования кристаллических сред, допускающих мартенситные превращения: решение уравнений статики

Разрабатываются математические методы решения уравнений статики нелинейной модели деформирования кристаллической среды со сложной решеткой, допускающей мартенситные превращения. В нелинейной теории деформацию описывают вектор акустической моды U(t, x, y, z) и вектор оптической моды u(t, x, y, z) . Они находятся из системы шести связанных нелинейных уравнений. Вектор акустической моды U(t, x, y, z) ищется в форме Папковича–Нейбера. Система шести связанных нелинейных уравнений преобразована в систему отдельных уравнений. Уравнения оптической моды u(t, x, y, z) приведены к одному синус-Гордона уравнению с переменным коэффициентом (амплитудой) перед синусом и двум уравнениям Пуассона. Определение аккустической моды сведено к решению скалярного и векторного уравнений Пуассона. Для оптической моды с постоянной амплитудой найдены частные решения. В случае плоской деформации построен класс двояко-периодических решений, которые выражаются через эллиптические функции Якоби. Сделан анализ найденных решений. Показано, что нелинейная теория описывает фрагментацию кристаллической среды, образование границ между фрагментами, фазовые превращения, образование дефектов и другие особенности деформирования, которые реализуются в поле высоких внешних силовых воздействий и которые не описываются классической механикой сплошной среды.

Ключевые слова

сложная решетка, нелинейная модель, уравнение синус-Гордона, дефекты, фрагментация, фазовые превращения

Источник финансирования

Работа поддержана РФФИ (гранты № 16-01-00068-а и № 17-01-00230-а).

Получено

22.12.2018

Дата публикации

22.12.2018

Цитировать Скачать pdf Для скачивания PDF необходимо авторизоваться

ГОСТ	Аэро Э. Л. , Булыгин А. Н. , Павлов Ю. В. Нелинейная модель деформирования кристаллических сред, допускающих мартенситные превращения: решение уравнений статики // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела – 2018. – № 6 C. 30-40 [Электронный ресурс]. URL: http://ras.jes.su/mtt/s207987840001713-3-1 (дата обращения: 29.04.2024). DOI: 10.31857/S057232990002538-1
MLA	Aero, E., Bulygin, A., Pavlov, Yu "Nonlinear model of deformation of crystalline media, allowing martensitic transformations: solving static equations." Izvestiia Rossiiskoi akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela 6 (2018):30-40. DOI: 10.31857/S057232990002538-1
APA	Aero E., Bulygin A., Pavlov Y. (2018). Nonlinear model of deformation of crystalline media, allowing martensitic transformations: solving static equations. Izvestiia Rossiiskoi akademii nauk. Mekhanika tverdogo tela (6), pp.30-40 DOI: 10.31857/S057232990002538-1

Размещенный ниже текст является ознакомительной версией и может не соответствовать печатной.

всего просмотров: 1177

Оценка читателей: голосов 0

1. Аэро Э.Л. Микромасштабные деформации в двумерной решетке – структурные переходы и бифуркации при критическом сдвиге // Физика твердого тела. 2000. Т. 42. С. 1113–1119.

2. Аэро Э.Л. Существенно нелинейная микромеханика среды с изменяемой периодической структурой // Успехи механики. 2002. Т. 1. С. 130–176.

3. Born M., Huang K. Dynamical Theory of Crystal Lattices. Oxford: Clarendon Press, 1954. = Борн М., Хуан Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1958. 488 с.

4. Индейцев Д.А., Мещеряков Ю.И., Кучмин А.Ю., Вавилов Д.С. Многомасштабная модель распространения стационарных упругопластических волн // Доклады Академии Наук. 2014. Т. 458, № 2. С. 165–168.

5. Вакс В.Г.. Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлектриков. М.: Наука, 1973. 327 с.

6. Bruce A.D., Cowley R.A. Structural Phase Transitions. London: Taylor & Francis Ltd., 1981. = Брюс А., Каули Р. Структурные фазовые переходы. М.: Мир, 1984. 407 с.

7. Шаскольская М.П. Кристаллография. М.: Высшая школа, 1984. 375 с.

8. Конторова Т.А., Френкель Я.И. К теории пластической деформации и двойникования. I // ЖЭТФ. 1938. Т. 8. С. 89–95.

9. Braun O.M., Kivshar Y.S. The Frenkel–Kontorova Model. Concepts, Methods, and Applications. New York: Springer, 2004. 474 p.

10. Porubov A.V., Aero E.L., Maugin G.A. Two approaches to study essentially nonlinear and dispersive properties of the internal structure of materials // Phys. Rev. E. 2009. V. 79. 046608.

11. Voigt W. Lehrbuch der Kristalphysik. Leipzig, 1910.

12. Kittel C. Introdution to Solid State Physics. New York: John Willey and Sons, Inc., 1970. = Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: ГИФМЛ, 1978. 792 с.

13. Aero E.L., Bulygin A.N., Pavlov Yu.V. Functionally invariant solutions of nonlinear Klein-Fock-Gordon equation // Appl. Math. Comput. 2013. Vol. 223. P. 160–166.

14. Aero E.L., Bulygin A.N., Pavlov Yu.V. Mathematical methods for solution of nonlinear model of deformation of crystal media with complex lattice // Proc. Int. Conference ''Days on Diffraction 2015''. St. Petersburg: SPbGU, 2015. P. 8–13.

15. Aero E.L., Bulygin A.N., Pavlov Yu.V. Nonlinear model of deformation of crystal media with complex lattice: mathematical methods of model implementation // Math. Mech. Solids. 2016. Vol. 21. P. 19–36.