All
 
|
 
 


Value-at-Risk and Expected Shortfall approaches for option premiums and the probability of default estimation based on ARMA models
 
PIIS042473880016417-7-1
DOI10.31857/S042473880016417-7
Publication type Article
Status Published
Authors
Nikolai Berzon 
Affiliation: National Research University Higher School of Economics
Address: Moscow, Russian Federation
Dmitry Bobrovsky
Affiliation: Joint Stock Company "VTB Capital"
Address: Moscow, Russian Federation
Daniil Vilkul
Affiliation: National Research University Higher School of Economics
Address: Moscow, Russian Federation
Vyacheslav Mezentsev
Affiliation: National Research University Higher School of Economics
Address: Moscow, Russian Federation
Dmitry Dubinsky
Affiliation: National Research University Higher School of Economics
Address: Moscow, Russian Federation
Journal nameEkonomika i matematicheskie metody
EditionVolume 57 Issue 3
Pages126-139
Abstract

The need to address the issue of risk management has given rise to a number of models for estimation the probability of default, as well as a special tool that allows to sell credit risk – a credit default swap (CDS). From the moment it appeared in 1994 until the crisis of 2008, that the CDS market was actively growing, and then sharply contracted. Currently, there is practically no CDS market in emerging economies (including Russia). This article is to improve the existing CDS valuation models by using discrete-time models that allow for more accurate assessment and forecasting of the selected asset dynamics, as well as new option pricing models that take into account the degree of risk acceptance by the option seller. This article is devoted to parametric discrete-time option pricing models that provide more accurate results than the traditional Black-Scholes continuous-time model. Improvement in the quality of assessment is achieved due to three factors: a more detailed consideration of the properties of the time series of the underlying asset (in particular, autocorrelation and heavy tails), the choice of the optimal number of parameters and the use of Value-at-Risk approach. As a result of the study, expressions were obtained for the premiums of European put and call options for a given level of risk under the assumption that the return on the underlying asset follows a stationary ARMA process with normal or Student's errors, as well as an expression for the credit spread under similar assumptions. The simplicity of the ARMA process underlying the model is a compromise between the complexity of model calibration and the quality of describing the dynamics of assets in the stock market. This approach allows to take into account both discreteness in asset pricing and take into account the current structure and the presence of interconnections for the time series of the asset under consideration (as opposed to the Black–Scholes model), which potentially allows better portfolio management in the stock market.

Keywordsoption pricing models, ARMA, parametric models, discrete-time models, VaR, Expected Shortfall
Received15.09.2021
Publication date22.09.2021
Number of characters31082
Cite   Download pdf To download PDF you should sign in
100 rub.
When subscribing to an article or issue, the user can download PDF, evaluate the publication or contact the author. Need to register.

Table of contents

1. ВВЕДЕНИЕ
2. РАСЧЕТ ПРЕМИЙ ОПЦИОНОВ В МОДЕЛИ МЕРТОНА И ЕЕ МОДИФИКАЦИЯХ
4. ВЫВОДЫ
1

1. ВВЕДЕНИЕ
2 При принятии инвестиционных решений вопрос о том, насколько вероятен дефолт, иными словами, насколько велик кредитный риск, имеет первостепенное значение. Потребность в решении этого вопроса породила ряд моделей для оценки вероятности дефолта, а также специальный инструмент, позволяющий продавать кредитный риск, — кредитный дефолтный своп (сredit default swap, CDS). С момента своего появления в 1994 г. и до кризиса 2008 г. рынок CDS активно рос, а затем резко сжался. Причем в настоящий момент в странах с развивающимися экономиками (в том числе в России) рынок CDS практически отсутствует. В настоящей статье делается попытка усовершенствовать существующие модели оценки CDS за счет использования моделей дискретного времени, позволяющих точнее оценивать и прогнозировать динамику выбранного актива, а также за счет новых моделей ценообразования опционов, которые позволяют продавцам опционов учитывать степень принятого ими риска.
3 Первая формула для оценки европейского опциона была получена в работе (Black, Scholes, 1973). В дальнейшем эмпирический анализ показал, что при применении данного подхода наблюдаются систематические ошибки, в частности так называемая улыбка волатильности и тенденция недооценки краткосрочных опционов «вне денег», — связанные с предположениями этой модели о постоянстве дисперсии и логнормальности распределения.
4 Авторы предложенных впоследствии моделей корректировали эти предпосылки таким образом, чтобы они соответствовали наблюдаемым свойствам временных рядов доходности актива. В частности, учитывали предсказуемость доходности (Fama, French, 1988; Jegadeesh, 1990; Lo, MacKinlay, 1988); кластеризацию волатильности (Hull, White, 1987; Wiggins, 1987; Bakshi, Cao, Chen, 1997; Lo, Wang, 1995; Bates, 2000) и тяжелые хвосты.
5 При этом параллельно развивались модели в непрерывном времени (к которым относится классическая модель Блэка–Шоулза (далее — B–S)) и модели в дискретном времени, основой для которых стали работы (Brennan, 1979; Rubinstein, 1976). Следует отметить (Stentoft, 2011), что до недавнего времени дискретные и непрерывные модели исследовали независимо друг от друга. К тому же отсутствовали эмпирические исследования, которые бы сравнивали эффективность этих двух классов моделей.
6 Среди предложенных моделей можно выделить три основные группы. Модели, основывающиеся на предположении о предсказуемости доходности актива, построены на процессе Кокса–Ингерсолла–Росса (Heston, 1993), процессе Орнштейна–Уленбека (Barndorff-Nielsen, Shephard, 2001) и ARMA-процессе (Hafner, Herwartz, 2000; Hsu, Breidt, 2009; Wu, 2008; Liu et al., 2011). Модели, реализующие идею кластеризации волатильности, представляют собой различные разновидности GARCH (Duan, 1995; Christoffersen, Jacobs, 2004; Hsieh, Ritchken, 2005). Также были предложены модели, объединяющие авторегрессионную и гетороскедастичную составляющие, ARMA-GARCH (Goode, Kim, Fabozzi, 2015; Xi, 2013), в том числе с учетом тяжелых хвостов (Spierdijk, 2014).

Price publication: 0

Number of purchasers: 0, views: 535

Readers community rating: votes 0 

1. Bakshi G., Cao C., Chen Z. (1997). Empirical performance of alternative option pricing models. Journal of Finance, 52 (5), 2003–2049.

2. Barndorff-Nielsen O.E., Shephard N. (2001). Non-Gaussian Ornstein–Uhlenbeck-based models and some of their uses in financial economics. Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Me-thodology), 63 (2), 167–241.

3. Bates D.S. (2000). Post-'87 crash fears in the SP 500 futures option market. J. Econ., 94, 181–238.

4. Black F., Scholes M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81, 637–654.

5. Box G.E.P., Jenkins G.M., Reinsel G.C. (1994). Time series analysis: Forecasting and control. 3rd ed. En-glewood Cliffs: Prentice-Hall.

6. Brennan M.J. (1979). The pricing of contingent claims in discrete time model. Journal of Finance, 34, 1, 53–68.

7. Christoffersen P., Jacobs K. 2004. Which GARCH model for option valuation? Management Science, 50 (9), 1204–1221.

8. Conrad J., Kaul G. (1988). Time-variation in expected returns. Journal of Business, 61 (4), 409–425.

9. Duan J.-C. 1995. The GARCH option pricing model. Math. Finance, 5 (1), 13–32.

10. Fama E.F., French K.R. (1988). Permanent and temporary components of stock prices. Journal of Political Economy, 96, 2, 246–273.

11. French K.R., Roll R. (1986). Stock return variances: The arrival of information and the reaction of traders. Journal of Financial Economics, 17 (1), 5–26.

12. Goode J., Kim Y.S.A., Fabozzi F.J. (2015). Full versus quasi MLE for ARMA-GARCH models with infi-nitely divisible innovations. Applied Economics, Taylor & Francis Journals, 47 (48), 5147–5158, Oc-tober.

13. Hafner Ch.M., Herwartz H. (2000). Option pricing under linear autoregressive dynamics, heteroskedasticity, and conditional lepokurtosis. SFB 373 Discussion Paper, 1999, 58.

14. Heston S.L. (1993). A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. The Review of Financial Studies, 6 (2), 327–343.

15. Hsieh K., Ritchken P. 2005. An empirical comparison of GARCH option pricing models. Rev. Deriv. Res., 8, 129–150.

16. Hsu N.-J., Breidt F.J. (2009). Exact maximum likelihood estimation for non-gaussian moving averages. Statistica Sinica, 19, 2, 545–560.

17. Hull J., White A. 1987. The pricing of options on assets with stochastic volatilities. Journal of Finance, 42 (2), 281–300.

18. Jegadeesh N. (1990). Evidence of predictable behavior of security returns. Journal of Finance, 45 (3), 881–898.

19. Jovan M. (2010). The Merton structural model and IRB compliance. Metodoloski zvezki, 7, 1, 39–57. 

20. Lehmann B.N. (1990). Fads, martingales, and market efficiency. Quarterly Journal of Economics, 105 (1), 1–28.

21. Liu Yu-H., Jiang I-M., Lee Sh.-Ch., Cheng Yu-T. (2011). The valuation of reset options when underlying assets are autocorrelated. The Institute for Business and Finance Research, 5 (2), 95–114.

22. Lo A., Wang J. (1995). Implementing option pricing models when asset returns are predictable. Journal of Finance, 50 (1), 87–129.

23. Lo A.W., MacKinlay A.C. (1988). Stock market prices do not follow random walks: Evidence from a sim-ple specification test. The Review of Financial Studies, 1 (1), 41–66.

24. Merton R.C. (1974). On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates. Journal of Finance, 29, 2, 449–470.

25. Rachev Sv.T., Stoyanov St., Fabozzi Fr.J. (2008). Advanced stochastic models, risk assessment, and port-folio optimization: The ideal risk, uncertainty, and performance measures. N.Y.: John Wiley & Sons.

26. Rubinstein M. (1976). The valuation of uncertain income streams and the pricing of options. Bell Journal of Economics, 7, 2, 407–425.

27. Spierdijk L. (2016). Confidence intervals for ARMA-GARCH Value-at-Risk: The case of heavy tails and skewness. Computational Statistics & Data Analysis (Elsevier), 100 (C), 545–559.

28. Stentoft L. (2011). American option pricing with discrete and continuous models: An empirical comparison. Journal of Empirical Finance, 18, 880–902.

29. Sundaresan S. (2013). A review of Merton’s model of the firm’s capital structure with its wide ap-plications. Annual Review of Financial Economics, 5, 5.1–5.21.

30. Wiggins J.B. 1987. Option values under stochastic volatility: Theory and empirical estimates. Journal of Financial Economy, 19, 351–372.

31. Wu Chin-Wen, Huang Yu-Chuan, Wang Chou-Wen (2009). Pricing TAIEX options — An ARMA ap-proach. International Research Journal of Finance and Economics, 31. 

32. Wu H., Huang Yu-Chuan (2008). Implementing ARMA Option Pricing Models. International Review of Economics & Finance, 24, 2012, 8–25.

33. Xi Yi (2013). Comparison of option pricing between ARMA-GARCH and GARCH-M models. Electronic Thesis and Dissertation Repository, 1215. Available at: https://ir.lib.uwo.ca/etd/1215

Система Orphus

Loading...
Up