Solving ordinary differential equations in EXCEL using quadrature and interpolation formulas

Occupation: Principal Scientific Researcher
Affiliation: Central Economics and Mathematics Institute, Russian Academy of Sciences
Address: Moscow, Russian Federation, Nakhimovsky prospect 47

Journal name

Vestnik CEMI

Edition

Issue 2

Abstract

We propose two simple methods for numerically solving the Cauchy problem for ordinary differential equations. They provide high accuracy and are suitable for use in EXCEL and other spreadsheets.

Keywords

ordinary differential equations, numerical solution, spreadsheets

Received

12.07.2021

Publication date

26.07.2021

Number of characters

13553

Cite Download pdf To download PDF you should sign in

GOST	Smolyak S. Solving ordinary differential equations in EXCEL using quadrature and interpolation formulas // Vestnik CEMI – 2021. – Issue 2 [Electronic resource]. URL: https://cemi.jes.su/S265838870015151-9-1 (circulation date: 20.07.2024). DOI: 10.33276/S265838870015151-9
MLA	Smolyak, Sergey "Solving ordinary differential equations in EXCEL using quadrature and interpolation formulas." Vestnik CEMI 2 (2021) DOI: 10.33276/S265838870015151-9
APA	Smolyak S. (2021). Solving ordinary differential equations in EXCEL using quadrature and interpolation formulas. Vestnik CEMI (2) DOI: 10.33276/S265838870015151-9


1	1. Введение
2	В этой статье речь пойдёт о численном решении задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для определённости мы будем говорить о нахождении значений вектор-функции y(t) на отрезке [0,a] , удовлетворяющей условиям:
3	$y^{'} (t) = f (t, y (t)), y (0) = y_{0} . (1)$
4	Вектор-функция f при этом предполагается достаточно гладкой.
5	Известные методы решения этой задачи, например, метод Рунге-Кутта и другие, описанные, например, в (Бахвалов, 1973; Меркулова, Михайлов, 2014) были разработаны применительно к ситуации, когда вычисления значений функции $f$ представляли определённую сложность, и требовалось минимизировать количество этих вычислений.
6	Для решения этой задачи имеется много методов, описанных, например, в (Бахвалов и др., 2003; Меркулова, Михайлов, 2014). Наиболее распространённым из них, пожалуй, можно считать метод Рунге-Кутта. Однако такие методы разрабатывались вначале применительно к «ручному счёту», а позднее – применительно к вычислительной технике малой производительности. При этом во многих важных для практических приложений задачах даже вычисление одного из значений функции f представляло определённую сложность. По этой причине указанные методы были ориентированы на минимизацию количества вычислений, необходимых для обеспечения заданной точности решения.
7	В настоящее время с появлением персональных компьютеров (ПК) ситуация изменилась. С одной стороны, круг объектов, поведение которых моделируется с помощью ОДУ, расширился, а для описания поведения одного и того же объекта используются различные ОДУ. Порой функция f зависит от скалярного или векторного параметра, значения которого требуется подобрать. В таких случаях возникает необходимость решать на ПК уравнение (1) с разными правыми частями. Чаще всего в этих целях используются электронные таблицы, в основном EXCEL. Однако стандартных программ для решения ОДУ в EXCEL нет. С другой стороны, вычисление значений каких-либо аналитически заданных функций, изменение дробления отрезка $[0, a]$ на шаги и проведение итераций в EXCEL не представляет каких-либо сложностей. Однако при записи сложных формул в ячейки электронной таблицы нередко возникают ошибки, которые порой трудно обнаружить. В такой ситуации предпочтение должно отдаваться возможно более простым алгоритмам. Ниже предлагаются два метода, использующие такие алгоритмы.
8	В них отрезок $[0, a]$ разбивается на $N$ шагов длительности $h = a / N$ точками $t_{i} = i h$ $(i = 0,1, \dots, N)$ , и отыскиваются значения $y_{i} = y (t_{i})$ , при которых возможно более точно удовлетворяются вытекающие из (1) условия:
9	$y_{i} = y (t_{i}) = y_{0} + \int_{0}^{t_{i}} f (t, y (t)) d t, (i = 1, \dots, N) . (2)$
10	Для большей наглядности далее будет рассмотрен только одномерный случай ( $y$ и $f$ – скаляры) – все приводимые формулы в общем случае сохраняются. Двумерный случай мы рассматриваем на численном примере.

Readers community rating: votes 0

1. Бахвалов Н .С. (1973). Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). Москва: Наука.

2. Меркулова Н. Н., Михайлов М. Д. (2014). Методы приближенных вычислений : [учеб. пособие]. Томск: Издательский дом Томского государственного университета.

3. Мышенков В. И., Мышенков Е.В. (2005). Численные методы. Ч.2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие для студентов специальности 073000. М.: МГУЛ.

4. Пименов В. Г. (2014). Численные методы : в 2 ч. Ч. 2 : [учеб. пособие] / В. Г. Пименов, А. Б. Ложников. Екатеринбург: Изд-во Уральского федерального университета.

5. Atkinson K., Han W., Steward D. (2009). Numerical solution of ordinary differential equations. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.