Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в EXCEL с помощью квадратурных и интерполяционных формул

Предлагаются два простых и достаточно точных метода численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, приспособленные для использования в EXCEL и других электронных таблицах.

Ключевые слова

обыкновенные дифференциальные уравнения, численное решение, электронные таблицы

Получено

12.07.2021

Дата публикации

26.07.2021

Кол-во символов

13553

Цитировать Скачать pdf Для скачивания PDF необходимо авторизоваться

ГОСТ	Смоляк С. А. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в EXCEL с помощью квадратурных и интерполяционных формул // Вестник ЦЭМИ – 2021. – Выпуск 2 [Электронный ресурс]. URL: https://cemi.jes.su/S265838870015151-9-1 (дата обращения: 23.07.2024). DOI: 10.33276/S265838870015151-9
MLA	Smolyak, Sergey "Solving ordinary differential equations in EXCEL using quadrature and interpolation formulas." Vestnik CEMI 2 (2021) DOI: 10.33276/S265838870015151-9
APA	Smolyak S. (2021). Solving ordinary differential equations in EXCEL using quadrature and interpolation formulas. Vestnik CEMI (2) DOI: 10.33276/S265838870015151-9


1	1. Введение
2	В этой статье речь пойдёт о численном решении задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для определённости мы будем говорить о нахождении значений вектор-функции y(t) на отрезке [0,a] , удовлетворяющей условиям:
3	$y^{'} (t) = f (t, y (t)), y (0) = y_{0} . (1)$
4	Вектор-функция f при этом предполагается достаточно гладкой.
5	Известные методы решения этой задачи, например, метод Рунге-Кутта и другие, описанные, например, в (Бахвалов, 1973; Меркулова, Михайлов, 2014) были разработаны применительно к ситуации, когда вычисления значений функции $f$ представляли определённую сложность, и требовалось минимизировать количество этих вычислений.
6	Для решения этой задачи имеется много методов, описанных, например, в (Бахвалов и др., 2003; Меркулова, Михайлов, 2014). Наиболее распространённым из них, пожалуй, можно считать метод Рунге-Кутта. Однако такие методы разрабатывались вначале применительно к «ручному счёту», а позднее – применительно к вычислительной технике малой производительности. При этом во многих важных для практических приложений задачах даже вычисление одного из значений функции f представляло определённую сложность. По этой причине указанные методы были ориентированы на минимизацию количества вычислений, необходимых для обеспечения заданной точности решения.
7	В настоящее время с появлением персональных компьютеров (ПК) ситуация изменилась. С одной стороны, круг объектов, поведение которых моделируется с помощью ОДУ, расширился, а для описания поведения одного и того же объекта используются различные ОДУ. Порой функция f зависит от скалярного или векторного параметра, значения которого требуется подобрать. В таких случаях возникает необходимость решать на ПК уравнение (1) с разными правыми частями. Чаще всего в этих целях используются электронные таблицы, в основном EXCEL. Однако стандартных программ для решения ОДУ в EXCEL нет. С другой стороны, вычисление значений каких-либо аналитически заданных функций, изменение дробления отрезка $[0, a]$ на шаги и проведение итераций в EXCEL не представляет каких-либо сложностей. Однако при записи сложных формул в ячейки электронной таблицы нередко возникают ошибки, которые порой трудно обнаружить. В такой ситуации предпочтение должно отдаваться возможно более простым алгоритмам. Ниже предлагаются два метода, использующие такие алгоритмы.
8	В них отрезок $[0, a]$ разбивается на $N$ шагов длительности $h = a / N$ точками $t_{i} = i h$ $(i = 0,1, \dots, N)$ , и отыскиваются значения $y_{i} = y (t_{i})$ , при которых возможно более точно удовлетворяются вытекающие из (1) условия:
9	$y_{i} = y (t_{i}) = y_{0} + \int_{0}^{t_{i}} f (t, y (t)) d t, (i = 1, \dots, N) . (2)$
10	Для большей наглядности далее будет рассмотрен только одномерный случай ( $y$ и $f$ – скаляры) – все приводимые формулы в общем случае сохраняются. Двумерный случай мы рассматриваем на численном примере.

всего просмотров: 97

Оценка читателей: голосов 0

1. Бахвалов Н .С. (1973). Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). Москва: Наука.

2. Меркулова Н. Н., Михайлов М. Д. (2014). Методы приближенных вычислений : [учеб. пособие]. Томск: Издательский дом Томского государственного университета.

3. Мышенков В. И., Мышенков Е.В. (2005). Численные методы. Ч.2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие для студентов специальности 073000. М.: МГУЛ.

4. Пименов В. Г. (2014). Численные методы : в 2 ч. Ч. 2 : [учеб. пособие] / В. Г. Пименов, А. Б. Ложников. Екатеринбург: Изд-во Уральского федерального университета.

5. Atkinson K., Han W., Steward D. (2009). Numerical solution of ordinary differential equations. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.