Решение краевых задач на собственные значения для линейных гамильтоновых систем с нелинейной зависимостью от спектрального параметра

Представлен метод решения самосопряженных краевых задач на собственные значения и функции для линейных гамильтоновых систем с нелинейной зависимостью коэффициентов уравнения и граничных условий от спектрального параметра. Предлагаемый подход основан на итерационной процедуре Ньютона со спектральной коррекцией. Показана быстрая сходимость метода, получены двусторонние оценки искомого собственного значения. Представлены результаты тестового применения излагаемого алгоритма к задаче о поперечных собственных колебаниях неоднородных стержней с дефектом плотности в рамках моделей Эйлера–Бернулли, Релея и Тимошенко.

Ключевые слова

задача Штурма–Лиувилля, линейная гамильтонова система, краевая задача, собственные значения, собственные функции, спектральная коррекция

Источник финансирования

Автор благодарит Л.Д. Акуленко за помощь в подготовке работы. Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (16-31-60078-мол_а_дк).

Получено

15.12.2018

Дата публикации

18.12.2018

Цитировать Скачать pdf Для скачивания PDF необходимо авторизоваться

ГОСТ	Гавриков А. А. Решение краевых задач на собственные значения для линейных гамильтоновых систем с нелинейной зависимостью от спектрального параметра // Прикладная математика и механика – 2018. – Tом 82. – Выпуск 5 C. 605-621 [Электронный ресурс]. URL: http://ras.jes.su/pmm/s207987840001474-0-1-ru (дата обращения: 18.04.2024). DOI: 10.31857/S003282350002267-3
MLA	Gavrikov, A. "Solving boundary value problems for eigenvalues for linear Hamiltonian systems with a nonlinear dependence on the spectral parameter." Prikladnaia matematika i mekhanika 82.5 (2018):605-621. DOI: 10.31857/S003282350002267-3
APA	Gavrikov A. (2018). Solving boundary value problems for eigenvalues for linear Hamiltonian systems with a nonlinear dependence on the spectral parameter. Prikladnaia matematika i mekhanika 82(5), pp.605-621 DOI: 10.31857/S003282350002267-3

Размещенный ниже текст является ознакомительной версией и может не соответствовать печатной.

всего просмотров: 1268

Оценка читателей: голосов 0

1. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.

2. Маркеев А.П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. М.; Ижевск: РХД, 2009. 396 с.

3. Atkinson F.V. Discrete and Continuous Boundary Problems. N.Y.; L.: Academic Press, 1964. 569 p. = Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968. 752 с.

4. Reid W.T. Sturmian Theory for Ordinary Differential Equations. N.Y.; B.; Heidelberg: Springer, 1980. 576 p.

5. Арнольд В.И. Теоремы Штурма и симплектическая геометрия // Функц. анализ и его прил. 1985. Т. 19. № 4. С. 1–10.

6. Simon Hilscher R. Comparison theorems for self-adjoint linear Hamiltonian eigenvalue problems // Math. Nachr. 2014. V. 287 № 5–6. P. 704–716.

7. Sepitka P, Simon Hilscher R. Comparative index and Sturmian theory for linear Hamiltonian systems // J. Diff. Eq. 2017. V. 262. № 2. P. 914–944.

8. Greenberg L., Marletta M. Numerical methods for higher order Sturm–Liouville problems // J. Comput. Appl. Math. 2000. V. 125. № 1–2. P. 367–383.

9. Абрамов А.А. Модификация одного метода решения нелинейной самосопряженной спектральной задачи для гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ЖВММФ. 2011. Т. 51. № 1. С. 39–43.

10. Akulenko L.D., Nesterov S.V. High-Precision Methods in Eigenvalue Problems and Their Applications. Boca Raton, FL, Chapman and Hall/CRC, 2005. 260 p.

11. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Определение частот и форм колебаний неоднородных распределенных систем с граничными условиями третьего рода // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 4. С. 547–555.

12. Акуленко Л.Д., Гавриков А.А., Нестеров С.В. Синтез неоднородной упругой системы с граничной нагрузкой // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2017. Вып. 5. С. 36–42.

13. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Колебания взаимодействующих систем с неоднородными распределенными параметрами // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 2. С. 15–25.

14. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Частотно-параметрический анализ собственных колебаний неоднородных стержней // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 4. С. 588–602.

15. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Колебания стержня в неоднородной упругой среде // ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 3. С. 469–475.

16. Акуленко Л.Д., Гавриков А.А., Нестеров С.В. Собственные колебания многомерных нелинейных по спектральному параметру систем // ДАН. 2017. Т. 472. № 6. С. 654–658.

17. Акуленко Л.Д., Гавриков А.А., Нестеров С.В. Численное решение нелинейных по спектральному параметру векторных задач Штурма–Лиувилля с условиями Дирихле // ЖВММФ. 2017. Т. 57. № 9. С. 1503–1516.

18. Gavrikov A. Numerical solution of vector Sturm–Liouville problems with a nonlinear dependence on the spectral parameter // AIP Conf. Proc. 2017. V. 1863. № 1. P. 560032.

19. Акуленко Л.Д., Калиниченко В.А., Нестеров С.В. Сейши в канале с резким изменением рельефа дна // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 3. С. 113–121.

20. Sadeghi A., Veisi H., Hassan Saidi M., Asghar Mozafari A. Electroosmotic flow of viscoelastic fluids through a slit microchannel with a step change in wall temperature // J. Heat Transfer. 2013. V. 135. № 2. P. 021706.

21. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Влияние дефекта массы на частоты и формы продольных колебаний стержня // Изв. РАН. МТТ. 2014. № 1. С. 135–144.

22. Калиниченко В.А., Нестеров С.В., Со А.Н. Волны Фарадея в прямоугольном сосуде с локальными нерегулярностями дна // Изв. РАН. МЖГ. 2015. № 4. С. 83–91.

23. Gavrikov A.A. Numerical solution of eigenproblems for linear Hamiltonian systems and their application to non-uniform rod-like systems // Proc. Int. Conf. DD-2017. 2017. P. 122–128.

24. Акуленко Л.Д., Гавриков А.А., Нестеров С.В. Собственные колебания трубопровода на упругом основании, транспортирующего жидкость // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 1. С. 123–133.

25. Gavrikov A.A. An iterative solution approach to eigenvalue problems for linear Hamiltonian systems and its application to a hybrid system control problem // Proc. IEEE Int. Conf. MMAR 2017. 2017. P. 588–593.

26. Акуленко Л.Д., Гавриков А.А. Управление одномерными движениями гибридных колебательных систем стержневого типа // Изв. РАН. ТиСУ. 2018. № 3. С. 5–14.

27. Gavrikov A.A., Shamaev A.S. Some problems in acoustics of emulsions // J. Math. Sc. 2011. V. 179. № 3. P. 415–436.

28. Козлов В.В. Общая теория вихрей. Ижевск: Удмуртский ун-т, 1998. 238 с.

29. Акуленко Л.Д. Высокочастотные собственные колебания механических систем // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 5. С. 817–832.

30. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 529 с.

31. Attili B.S., Lesnic D. An efficient method for computing eigenelements of Sturm-Liouville fourth-order boundary value problems // Appl. Math. Comput. 2006. V. 182. P.1247–1254.

32. Syam M.I., Siyyam H.I. An efficient technique for finding the eigenvalues of fourth-order Sturm–Liouville problems // Chaos Solitons Fract. 2009. V. 39. P.659–665.

33. Chanane B. Accurate solutions of fourth order sturm-liouville problems // J. Comput. Appl. Math. 2010. V. 234. P. 3064–3071.

34. Yucel U., Boubaker K. Differential quadrature method (DQM) and Boubaker Polynomials Expansion Scheme (BPES) for efficient computation of the eigenvalues of fourth-order Sturm-Liouville problems // Appl. Math. Modelling. 2012. V. 36. № 1. P. 158–167.

35. Saleh Taher A.H., Maleka A., Momeni-Masuleh S.H. Chebyshev differentiation matrices for efficient computation of the eigenvalues of fourth-order Sturm–Liouville problems // Appl. Math. Modelling. 2012. V. 37. № 7. P. 4634–4642.

36. Greenberg L., Marletta M. Algorithm 775: The code sleuth for solving fourth order sturm-liouville problems // ACM Trans. Math. Software. 1997. V. 23. P. 453–493.

37. Baily P., Everitt W., Zettl A. Computing eigenvalues of singular Sturm–Liouville problems. Results Math. 1991. V.20. P. 391–423.

38. Коллатц Л. Задачи на собственные значения. М: Наука, 1968. 504 с.

39. Weaver W., Jr., Timoshenko S.P., Young D.H. Vibration Problems in Engineering. N.Y.: Wiley, 1990. 624 p. = Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. 472 с. М: Физматлит, 1985.

40. Han S.M., Benaroya H., Wei T. Dynamics of transversely vibrating beams using four engineering theories // J. Sound Vibr. 1999. V. 225. № 5. P. 935–988.