Risk measures and quantitative indicators of solvency

In the article, upper and lower bounds are given for a function implicitly defined by a non-linear equation obtained by equating the probability of non-ruin in a finite time to a pre-selected constant. This equation arises in the collective model of risk, when an economic indicator, called non-ruin capital, is examined. The mathematical problem under consideration is the theoretical foundation for developing quantitative requirements for reserves, which is an essential part of various practical regulation systems, such as Solvency II and Swiss Solvency Test.

Keywords

non-loss capital, non-ruin capital, probability of ruin, value-at-risk, collective risk model

Received

22.06.2022

Publication date

05.07.2022

Number of characters

17858

Cite Download pdf To download PDF you should sign in

GOST	Malinovskii V. Risk measures and quantitative indicators of solvency // Vestnik CEMI – 2022. – V. 5. – Issue 2 [Electronic resource]. URL: https://cemi.jes.su/S265838870020599-1-1 (circulation date: 20.07.2024). DOI: 10.33276/S265838870020599-1
MLA	Malinovskii, Vsevolod K. "Risk measures and quantitative indicators of solvency." Vestnik CEMI 5.2 (2022) DOI: 10.33276/S265838870020599-1
APA	Malinovskii V. (2022). Risk measures and quantitative indicators of solvency. Vestnik CEMI 5(2) DOI: 10.33276/S265838870020599-1

100 rub.

When subscribing to an article or issue, the user can download PDF, evaluate the publication or contact the author. Need to register.


1	1. Введение
2	В начале 1960-х годов в статье [2] был предложен подход¹, названный “Value–at–Risk” (VaR; “капитал под риском”). С течением времени этот подход и его многочисленные модификации превратились в основной инструмент измерения рисков (см., например, [1], [10], [11]). Иногда VaR называют (см., например, [9], с. 80) фундаментальным принципом, лежащим в основе измерения риска в финансах и страховании. Однако по существу это ни что иное, как нахождение квантили некоторого специально выбранного распределения. Из-за возникающих технических сложностей это распределение часто выбирают намеренно упрощенным, что содержит потенциальную опасность неадекватных выводов.	1. В [4] утверждается, что подход Value–at–Risk стал основой управления рисками на финансовых рынках с момента его введения в техническом документе [11].
3	Применительно к страховым рискам напомним, что система регулирования конкурентного страхового рынка EC (Solvency II; см. директивы [7], [8]) вступила в силу 1 января 2016 г. Она реализует риск-ориентированный подход к регулированию и управлению страховым рынком, в корне отличный от традиционного бухгалтерского подхода², и опирается на оценку “капитала под риском”.	2. Изменения в страховой отрасли, связанные с регулированием, основанным на оценке риска, такие как Solvency II и Swiss Solvency Test, обсуждаются в [5].
4	В настоящей статье предлагается и исследуется альтернативная мера риска, также являющаяся квантилью некоторого специально выбранного распределения. Эта мера риска, тесно связанная с вероятностью разорения, сложнее, чем VaR, но больше подходит для регулирования финансовой устойчивости. Несмотря на свою сложность, она допускает глубокое аналитическое исследование.
5	2. Интегральная модель многолетнего страхового процесса
6	Согласно устоявшейся практике страхового дела (см., например, [3], [6]) долгосрочный страховой процесс состоит из последовательности страховых периодов, обычно равных страховому году³. Каждый страховой год завершается отчетом перед надзорными органами, а начинается с принятия управленческих решений, действующих в течение всего этого года. Такие решения должны удовлетворять требованиям к платежеспособности, устанавливаемым надзорными органами. В остальном они могут быть достаточно произвольными.	3. Если надзорные органы сомневаются в платежеспособности компании, то страховой период для нее может быть назначен меньше календарного года.
7	Обычно страховщики не могут изменять свои управленческие решения до истечения страхового года, поскольку не имеют права менять условия договоров, заключенных с клиентами, до истечения срока их действия. Это отличает страховой рынок от многих других финансовых рынков.
8	В качестве вероятностной модели многолетнего страхового процесса в [12] и [13] рассматривается случайная последовательность $(W^{[k]}, U^{[k]}),$ $k = 1, 2, \dots$ , с начальным вектором $(W^{[0]}, U^{[0]}),$ траектории которой развиваются во времени в соответствии со следующей диаграммой: $w^{[0]} \underset{1 - й г о д}{\underset{⏟}{\overset{γ^{[0]}}{⟶} u^{[0]} \overset{π^{[1]}}{⟶} w^{[1]}}} \dots \overset{π^{[k - 1]}}{⟶} w^{[k - 1]} \underset{k - й г о д}{\underset{⏟}{\overset{γ^{[k - 1]}}{⟶} u^{[k - 1]} \overset{π^{[k]}}{⟶} w^{[k]}}} \dots . (1)$
9	Здесь через $w^{[k]}$ , $k = 0, 1, \dots$ , обозначены исходы случайных величин $W^{[k]}$ , $k = 0, 1, \dots$ , то есть состояния компании (например, разность между доходом и расходом) в конце страховых лет, через $u^{[k]}$ , $k = 0, 1, \dots$ , обозначены реализации случайных величин $U^{[k]}$ , $k = 0, 1, \dots$ , то есть управления (например, тарифы и резервы). Через $π^{[k]}$ обозначены вероятностные механизмы страхования для $k$ -го года; входными переменными для $π^{[k]}$ являются управления $u^{[k - 1]}$ , а выходными переменными – состояния $w^{[k]}$ . Через $γ^{[k - 1]}$ обозначаются управляющие правила для $k$ -го года. Конечная последовательность $γ_{n} = {γ^{[k]}, k = 0, 1, \dots, n - 1}$ называется $n$ -летней стратегией управления.

Readers community rating: votes 0

1. Amendment to the Capital Accord to Incorporate Market Risks / Basel Committee on Banking Supervision // Bank for International Settlements. – 1996. – URL : http://www.bis.org/publ/bcbs24.pdf (дата обращения: 04.05.2022).

2. Baumol, W. J. An expected gain-confidence limit criterion for portfolio selection / W. J. Baumol // Management Science. – 1963. – Vol. 10, No. 1. – p. 174–182.

3. Beard, R.E. Risk Theory: The Stochastic Basis of Insurance/ R. E. Beard, T. Pentikäinen, E. Pesonen. – 3-rd ed. – London ; New York : Chapman and Hall, 1984. – 408 p.

4. Choudhry, M. An Introduction to Value-at-Risk/ M. Choudhry. – 4-th ed. – Chichester : John Wiley & Sons, 2006. – 192 p.

5. Dacorogna, M. A change of paradigm for the insurance industry/ M. Dacorogna // Annals of Actuarial Science. – 2018. – Vol. 12, Part 2. – p. 211–232.

6. Daykin, C. D. Practical Risk Theory for Actuaries / C. D. Daykin, T. Pentikäinen, M. Pesonen. – London etc. : Chapman and Hall, 1996. – 546 p.

7. Directive 2009/138/EC of the European Parliament and of the Council of 25 November 2009 on the taking-up and pursuit of the business of Insurance and Reinsurance (Solvency II) : [Brussels, 25 November 2009].

8. Directive 2014/51/EU of the European Parliament and of the Council of 16 April 2014 amending Directives 2003/71/EC and 2009/138/EC and Regulations (EC) No 1060/2009, (EU) No 1094/2010 and (EU) No 1095/2010 in respect of the powers of the European Supervisory Authority (European Insurance and Occupational Pensions Authority) and the European Supervisory Authority (European Securities and Markets Authority) : [Brussels, 16 April 2016].

9. Heep-Altiner, M. Solvency II in the Insurance Industry. Application of a Non-Life Data Model / M. Heep-Altiner, M. Mullins, T. Rohlfs, Eds. – Springer Cham, 2018. – 219 p.

10. Morgan, J.P. RiskMetrics — Technical Document / J.P. Morgan, Reuters. – New York, 1996.

11. Morgan, J.P. Introduction to CreditMetrics / J.P. Morgan. – New York, 1997.

12. Малиновский, В. К. Модели долгосрочного страхового планирования / В. К. Малиновский. – М.: Янус–К, 2020. – 390 с.

13. Malinovskii, V. K. Insurance Planning Models / V. K. Malinovskii. – Singapore : World Scientific, 2021. – 354 p.

14. Malinovskii, V. K. Level–Crossing Problems and Inverse Gaussian Distributions / V. K. Malinovskii. – CRC Press, 2021. – 452 p.

15. Malinovskii, V.K. Risk Measures and Insurance Solvency Benchmarks / V. K. Malinovskii. – Chapman and Hall/CRC, 2021. – 340 p.