Собственные значения и собственные функции некоторых операторов, порождённых симметрическими дифференциальными выражениями с постоянными коэффициентами и самосопряжёнными граничными условиями в пространстве квадратично интегрируемых по Лебегу функций на отрезке, явно вычисляются, а резольвенты этих операторов являются интегральными операторами с ядрами, для которых справедлива теорема о разложении по собственным функциям. Кроме того, каждое из этих ядер является функцией Грина некоторой самосопряжённой граничной задачи, и хорошо известна процедура её построения. Таким образом, для функций Грина этих задач справедливо разложение в ряд по собственным функциям. В работе полученные этим способом тождества используются для вычисления сумм некоторых сходящихся числовых рядов и для интегрального представления сумм некоторых степенных рядов.